Сумма степеней вершин - это фундаментальное понятие в теории графов, представляющее собой сумму степеней всех вершин графа. Это важная характеристика, которая используется для анализа свойств графов и решения различных задач.
Содержание
Основные определения
В теории графов:
- Степень вершины - количество ребер, инцидентных данной вершине
- Сумма степеней вершин - арифметическая сумма степеней всех вершин графа
Пример вычисления суммы степеней
| Граф | Степени вершин | Сумма степеней |
| Треугольник (3 вершины) | 2, 2, 2 | 6 |
| Звезда (4 вершины) | 3, 1, 1, 1 | 6 |
| Путь из 4 вершин | 1, 2, 2, 1 | 6 |
Лемма о рукопожатиях
Основное свойство суммы степеней вершин выражается леммой:
- Сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному количеству ребер
- Формально: Σdeg(v) = 2E, где E - количество ребер
- Это означает, что сумма степеней всегда четна
Следствия из леммы
Из леммы о рукопожатиях вытекают важные следствия:
- В любом графе количество вершин нечетной степени четно
- Невозможно построить граф с нечетным числом вершин нечетной степени
- Средняя степень вершины в графе равна 2E/V
Применение суммы степеней вершин
Эта характеристика используется для:
- Проверки корректности описания графа
- Определения существования графа с заданными степенями вершин
- Анализа свойств сетей и соединений
- Решение задач о существовании эйлеровых циклов
Особые случаи
Для различных типов графов:
- В полном графе с n вершинами сумма степеней равна n(n-1)
- В дереве с n вершинами сумма степеней равна 2(n-1)
- В регулярном графе степени k сумма степеней равна n×k
Сумма степеней вершин - это мощный инструмент анализа графов, который позволяет делать важные выводы о структуре и свойствах графа, не прибегая к его визуальному представлению.
